IMO-SL-04

Bài 3: tìm tất cả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f:{N^*}\to{N^*} thỏa mãn: http://dientuvietnam...etex.cgi?(m^2 n)^2\vdots{f^2(m)+f(n)},\forall{m,n\in{N^*}}.

bài này mình đăng rồi chỉ cần CM f(p-1)=p-1 với p nguyên tố sau đó dùng chia hết là được

Bài này em cũng làm như vậy .CM f(p-1)=p-1 .f(p)=p sau đó là dùng chia hết là ra

Bài 3:
cho m=n=1 cóhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(f(1))^2+f(1) =2,suy ra
f(1)=1.
Bây giờ thay m=1 và n=1 vào gt lần lượt có
f(n)+1 chia hết http://dientuvietnam...imetex.cgi?(n 1)^2 n N (1) và
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(f(m))^2 chia hết http://dientuvietnam...etex.cgi?(m^2 1)^2 m N (2)
Gọi p là 1 số nguyên tố bất kì, ta có f(p-1)+1 chia hết http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^2
giả sử f(p-1)+1=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^2.Khi đó từ (2) http://dientuvietnam...etex.cgi?(p^2-1)^2+1 là ước của http://dientuvietnam...tex.cgi?((p^2-1)^2+1>(http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p-1)^2(http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p 1)^2>
(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-1)^2p^2=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[(p-1)^2+(p-1)]^2 [(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-1)^2+1]
Vậy f(p-1)=p-1 với mọi p nguyên tố,có nghĩa là có vô số số k thỏa mãn f(k)=k
Với mỗi k trên sốhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(k))^2+f(n) chia hết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(k^2+n)^2 do gt.Mặt khác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^2+f(n))+(http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n-f(n))^2 với A nguyên nào đó.Từ đây http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^2+f(n) k thỏa f(k)=k
Vì có vô số số k như thế nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(n-f(n))^2=0.Suy ra f(n)=n n N.

bài tổng quát là