Chủ đề này có 1 trả lời

[QUANVU]

http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a>3 là số nguyên lẻ.Chứng minh với mỗi số nguyên dương http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n thì số http://dientuvietnam...x.cgi?a^{2^n}-1 có ít nhất http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n 1 ước nguyên tố phân biệt.


DDTH

[Mr Stoke]

http://dientuvietnam...=(a^{2^{n-1}} 1)(a^{2^{n-1}}-1)

Chú ý rằng với mọi $n>1$ nguyên thì http://dientuvietnam...?(a^{2^{n-1}} 1) không phải là lũy thừa của $2$ và chắc chắn lớn hơn $2$ do đó có ước nguyên tố mà nguyên tố cùng nhau với biểu thức http://dientuvietnam...i?a^{2^{n-1}}-1 . Nến số các ước nguyên tố của http://dientuvietnam...x.cgi?a^{2^n}-1 không ít hơn số các ước nguyên tố của http://dientuvietnam...i?a^{2^{n-1}}-1 cộng với $1$. Như thế đầu tiên kiểm thấy $n=0,1$ bất đẳng thức đúng sau đó với $n>1$ bất kì ta sử dụg liên tiếp bất đẳng thức kia $n-1$ lần ta có số các ước nguyên tố của http://dientuvietnam...x.cgi?a^{2^n}-1 lớn hơn hoặc bằng $n-1$ cộng với số các ước nguyên tố của $a^2-1$, Ta chỉ ra với $a>3$ thì $a^2-1$ không phải là lũy thừa của 2 là đủ ( do $a$ lẻ). thực vậy nếu $a^2-1=2^b$ với $b$ nguyên dương thì a-1 và a+1 là lũy thừa của $2$. Do $a-1>1$ và $a+1-(a-1)=2$ nên $a-1=2$ do đó mà $a=3$ mâu thuẫn. Vậy $a^2-1$ không phải là lũy thừa của một số nguyên tố và do đó nó có ít nhất 2 ước khác nhau nữa do đó mà số ban đầu có số các ước nguyên tố phân biệt không ít hơn $n-1+2=n+1$.