Chủ đề này có 12 trả lời

[QUANVU]

Cho hàm http://dientuvietnam...>[0;1].Xác định http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?f(x_0)=x_0.

[nguyendinh_kstn_dhxd]

bài này có vẻ hay ,nếu n=1 thì quá quen ,nếu sử dụng định lý Ba Râu thì tầm thường

[QUANVU]

định lý Ba Râu

Cái này là cái gì vậy bạn?

[nguyendinh_kstn_dhxd]

Định lý Braore về điểm bất động,có thể tham khảo trên tuyển tập 3o năm toán học &tuổi trẻ ,phát biểu cho hàm liên tục như sau:Nếu hàm số f(x)liên tục từ [a,b] vào [a,b] thì luôn tồn tại số c [a,b] sao cho f©=c

[Hatucdao]

Định lí Brower là một định lí hay của toán cao cấp và vẫn đang được mở rộng. Tuy nhiên, trong trường hợp riêng mà nguyendinh_kstn_dhxd đã trích thì nó là một bài tập mà một học sinh phổ thông bình thường cũng có thể chứng minh được.
Thực sự thì giả thiết cho"tồn tại n" thay vì cho n=1 cũng không tạo ra khó khăn đáng kể. Rõ ràng điểm bất động nếu tồn tại là duy nhất, nên ta chỉ cần cm tồn tại thôi.
Mà f^n(x) liên tục nên nó có điểm bất động là a. Song f(a) cũng là điểm bất động của f^n(x), hơn nữa f^n(x) cũng chỉ có 1 điểm bất động suy ra f(a)=a.

Với điều kiện "co": |f(x)-f(y)|<|x-y| (x khác y), ta có thể rút ra kết luận thú vị hơn nhiều: lấy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 thuộc [0,1] tùy ý và xét dãy http://dientuvietnam...i?x_{n 1}=f(x_n), thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_n hội tụ về a (điểm bất động duy nhất của f). Các bạn thử chứng minh xem. Hơn nữa, sự hội tụ ở đây còn là "đều" theo nghĩa x_n tiến về a chỉ phụ thuộc vào n, không phụ thuộc x_0.

[nguyendinh_kstn_dhxd]

Tuy nhiên, trong trường hợp riêng mà nguyendinh_kstn_dhxd đã trích thì nó là một bài tập mà một học sinh phổ thông bình thường cũng có thể chứng minh được

bạn nói định lý này trong trường hợp này 1 hspt cũng chứng minh được ư ,tôi chưa chứng minh được nhờ bạn chỉ giáo

[nemo]

Đây là sự mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach, về cơ bản ta dùng tính chất của ánh xạ co cho dãy con của các dãy hàm. Kiến thức để cm không vượt quá chương trình PT, nguyendinh thử phát trước xem !

[Hatucdao]

Định lý Braore về điểm bất động,có thể tham khảo trên tuyển tập 3o năm toán học &tuổi trẻ ,phát biểu cho hàm liên tục như sau:Nếu hàm số f(x)liên tục từ [a,b] vào [a,b] thì luôn tồn tại số c [a,b] sao cho f©=c

Trong trường hợp này thì khá đơn giản. Hàm g(x)=f(x)-x liên tục trên [a,b] mà g(a)>=0>=g(b) nên g có nghiệm trên [a,b], ok?
Các bạn thử cm bài toán tôi đã nêu xem, rất thú vị đấy!

@nemo: thật ra tính "co" không phải là điều thiết yếu để có điểm bất động. Trong các sách "Giải tích hàm" (chẳng hạn của thầy Dương Minh Đức, chương 8) có nêu những định lí mạnh hơn nhiều. Chứng minh ngoại trừ các kiến thức về bậc topô (tạm chấp nhận), các ý còn lại khá đơn giản và rất đẹp.

[nemo]

@nemo: thật ra tính "co" không phải là điều thiết yếu để có điểm bất động. Trong các sách "Giải tích hàm" (chẳng hạn của thầy Dương Minh Đức, chương 8) có nêu những định lí mạnh hơn nhiều. Chứng minh ngoại trừ các kiến thức về bậc topô (tạm chấp nhận), các ý còn lại khá đơn giản và rất đẹp.

Nguyên lý ánh xạ co Banach được phát biểu như sau:

Cho ánh xạ liên tục http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là ánh xạ co và tồn tại duy nhất điểm bất động.

Dữ kiện a [0,1) là ý chính của định lý này vì có những hàm chẳng hạn:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x,y http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?y, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một ánh xạ từ một không gian mêtric đầy đủ (E, ) vào E. Giả sử có một số nguyên dương n sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f^n là một ánh xạ co. Lúc đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f có một điểm bất động duy nhất trong E.

CM: Ý tưởng khá đơn giản (đã được trình bày trong cuốn "Giải Tích Hàm" của Thầy Dương Minh Đức). Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x E. Đặt http://dientuvietnam...x.cgi?x_k=f^k(x) với mọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k nguyên dương. Dùng nguyên lý ánh xạ co ở trên chứng minh các dãy con http://dientuvietnam...gi?{x_{nk m}}_k của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{x_k} hội tụ về điểm bất động duy nhất a của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^n trong E với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m=0,1,...,n-1. Chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{x_k} hội tụ về a và a là điểm bất động duy nhất của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f.

@ Hatucdao: Mình có xem qua [DE,NI,SC]. Kết quả về bậc Topo cho các định lý
điểm bất động Brouwer, Schauder và Schafer nhưng khó hiểu quá vì kiến thức về
bậc Topo không vững

[Hatucdao]

@ Hatucdao: Mình có xem qua [DE,NI,SC]. Kết quả về bậc Topo cho các định lý điểm bất động Brouwer, Schauder và Schafer nhưng khó hiểu quá vì kiến thức về bậc Topo không vững

Hi, mình đã nói là tạm chấp nhận các kết quả về bậc topo! Trong các năm trước, môn giải tích phi tuyến (trường TN -TPHCM) dành cỡ 1 nửa thời gian để thiết lập các kết quả này, nhưng xem ra đa số sv "học nhiều mà hiểu chẳng bao nhiêu" Tuy nhiên, việc này cũng ko ảnh hưởng lắm, vì khi cần ta sẽ tìm hiểu (mở rộng) sau.

Còn định lí ánh xạ co cần ko gian metric đầy đủ. Tìm phản ví dụ cho thằng này cũng thú vị lắm.

[LHTung]

Trời ! Topic này dành cho ptth mà các cao thủ vác nào là ax co , bậc của axlt , gt phi tuyến ..... ra thì các bạn ấy chắc choáng lắm . Dừng ở đây là đc rồi đấy!

[QUANVU]

Trời ! Topic này dành cho ptth mà các cao thủ vác nào là ax co , bậc của axlt , gt phi tuyến ..... ra thì các bạn ấy chắc choáng lắm . Dừng ở đây là đc rồi đấy!

Đây là phần Olympic mà bạn.Và lại làm sao cứ bó hẹp lại vậy?Ai xem được thì xem...

[Hatucdao]

Trời ! Topic này dành cho ptth mà các cao thủ vác nào là ax co , bậc của axlt , gt phi tuyến ..... ra thì các bạn ấy chắc choáng lắm . Dừng ở đây là đc rồi đấy!

Đây là phần Olympic mà bạn.Và lại làm sao cứ bó hẹp lại vậy?Ai xem được thì xem...

Đây chỉ là kiến thức cơ bản (của ...đại học) chứ không "cao thủ" gì đâu, bạn LHTung ạ. Bàn luận cho vui chứ cũng chẳng hiểu được bao nhiêu (người ta thường khoái cái không hiểu, vd như bài toán lớn Phecma).

Còn cái này phổ thông đây, các bạn thử cái nào! Hay đấy.

Với điều kiện "co": |f(x)-f(y)|<|x-y| (x khác y), ta có thể rút ra kết luận thú vị hơn nhiều: lấy  thuộc [0,1]tùy ý và xét dãy , thì  hội tụ về a (điểm bất động duy nhất của f). Các bạn thử chứng minh xem. Hơn nữa, sự hội tụ ở đây còn là "đều" theo nghĩa x_n tiến về a chỉ phụ thuộc vào n, không phụ thuộc x_0.