Đến nội dung

Hình ảnh

Phân hoạch của [0;1]

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
http://dientuvietnam....cgi?[0;1] đã được phân hoạch thành hai tập http://dientuvietnam...x.cgi?A,B.Chứng minh rằng không tồn tại số thực http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?a sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?B=A a ở đây .
1728

#2
lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
Một bài toán mở rộng .Tìm tất cả các số nguyên không âm k sao cho tồn tại
http://dientuvietnam...metex.cgi?B=A a

#3
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
[0,1] là tập đóng (chính xác hơn là liên thông), được phân hoạch thành hai tập rời nhau thì hai tập này không thể cùng tính đóng mở, hơn nữa phép tịnh tiến tập A thành A+a vẫn giữ nguyên tính đóng mở (gọi chung là tính Topo) nên dễ có Đpcm !
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#4
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

[0,1] là tập đóng (chính xác hơn là liên thông), được phân hoạch thành hai tập rời nhau thì hai tập này không thể cùng tính đóng mở, hơn nữa phép tịnh tiến tập A thành A+a vẫn giữ nguyên tính đóng mở (gọi chung là tính Topo) nên dễ có Đpcm !

Nếu A không đóng và không mở thì sao?
1728

#5
tuyentien90

tuyentien90

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
chung minh phan chung :gia su 1 :D B thi :delta >o khi do goi m=supA thi de thay m =maxA
khi do ta co (1- :( ,1] :delta B tu do (1-2* :D ,1- :delta ] :delta A .chung minh tuong tu nhu the nhieu lan ta dan den dpcm
chung minh tuong tu cho truong hop :delta <0 ta cung co dieu phai chung minh

#6
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết

Nếu A không đóng và không mở thì sao?

Thực ra mình nghĩ A không đóng không mở thì được ngầm hiểu là B phải đóng vì B=[0,1]\A. Có thể chứng minh B đóng bằng cách sử dụng đúng định nghĩa tập đóng là mọi x :D A thì :( (http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_n) :delta A hội tụ về x.

Không hiểu ý của tuyentien90 lắm, sup và max trong hầu hết trường hợp là phân biệt nhau, sao lại có m=supA dẫn đến m=maxA nhỉ ?
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#7
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Thực ra mình nghĩ A không đóng không mở thì được ngầm hiểu là B phải đóng vì B=[0,1]\A

Không đúng!
1728

#8
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
Tất nhiên dựa vào câu chữ thì không đúng rồi vì người ta chỉ có những khái niệm về tập đóng là hội hữu hạn hay giao của một họ bất kỳ các tập đóng là tập đóng, nhưng vì A, B trong trường hợp này rời nhau và hội đúng bằng [0, 1] nên mình phát biểu vội thế.

Cm: Với mọi dãy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x_n) trong B hội tụ về http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?x. Giả sử x :delta A thì x là một điểm trong của A (vì A không đóng) và do đó tồn tại một lân cận S của x nằm trọn trong A. Nhưng vì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_n :delta S :( A. Mâu thuẫn vì http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x_n) :D B. Vậy x :delta B :delta B đóng !
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#9
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Giả sử x :beer A thì x là một điểm trong của A (vì A không đóng)

Vẫn không ổn! :)
1728

#10
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết

Vẫn không ổn! :)

• Tệ thật, mình lại thiếu nghiêm túc trong vấn đề này rồi, cứ chủ quan cho rằng A và B là những tập liên tục, xin lỗi mọi người.

• Nếu A, B là những tập liên tục (đúng ra phải dùng thuật ngữ liên thông) thì do A, B có lực lượng Continum nên mới làm được theo ý mình như trên.

• Mình làm lại như sau: Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A :beer http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B là tập không đóng, ngược lại sẽ có http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?b :Rightarrow http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?b :widehat{ABC} http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B khi đó bằng qui nạp cho ta: http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?b :Rightarrow http://dientuvietnam...metex.cgi?(2k-1)a :in http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Ahttp://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?b :Rightarrow http://dientuvietnam...mimetex.cgi?2ka :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B và vì vậy ta được:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A :Rightarrow http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B :Rightarrow http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=S_1 và suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=S_2. Thật vậy, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_1 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x-2ta :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_1 (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t nguyên dương). Tóm lại ta chỉ cần xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x-a :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A thế nhưng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Min(A)=a mà http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x :in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=S_1 dẫn tới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=S_2 thế nhưng rõ ràng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_1 :cup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_2 :beer :equiv Đpcm !
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#11
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
Bởi vì B=A+a nên B :P [a;1] chứ?

Nemo: Xin lỗi anh, em nhầm tưởng là A=B+a, tuy nhiên điều đó chẳng ảnh hưởng !
1728

#12
LHTung

LHTung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
Bài này có thể giải đg bằng phản chứng như sau

Gs :exists :alpha . Không mất tq có thể gt là :alpha >0 (tr.h :alpha <0 đưa vể tr.h :alpha >0 bằng cách nhân a,b, :alpha với -1 ). Khi đó a :in A và có 4 khả năng

1)a là cô lập , tức là :exists :varepsilon >0 tm (a,a+ :varepsilon ) :subset B

2)có một dãy a_n ( :neq a):in A và một dãy b_n :in B cùng hội tụ đến a

3)có một :varepsilon cực đại để [a,a+ :varepsilon ] :subset A và bất kì tập liên thông nào :subset [a,b] , thực sự chứa [a,a+ :varepsilon ] đều có pt :in B

4)Giống (3) nhưng là [a,a+ :varepsilon )

3 tr.h đầu là quá đg (?). Với tr.h cuối nhận xét rằng khi đó [a+ :varepsilon , a+2 :varepsilon ) :subset B . Và bài toán đc đệ quy .

Trong quá trình đệ quy nếu 3 tr.h đầu không xảy ra thì d(A :cup B) =n :varepsilon -> :infty ==> đpcm

-----------------------------------------------------------------------------

Từ cách giải trên ta thấy
1) Nếu xét [a, b ) thì dễ thấy là bài toán không còn đúng nữa

2) Dùng cách này dễ dàng cm :alpha A :neq B (Mình chắc tới 90% là :alpha A+ :beta :neq B nhưng luời quá vì khi đó phải xét nhiều tr.h hơn)

3)Bài toán vẫn đúng nếu thay [a,b] = (a,b)

4) Vì chủ nhân topic luôn hoan nghênh những kiến thức toán ngoài chương trình ptth nên mình mạo muội nhận xét thêm thế này :
Cách giải trên đã phải dùng tới QUAN HỆ THỨ TỰ . Vì vậy không thể áp dụng để cm bài toán tq sau

:exists hay không 1 tập lồi compact trong kgvttp mà có thể tách nó thành 2 tập rời nhau mà 1 tập sai khác tập còn lại một ax affine ! Các bạn ptth có thể coi tập lồi , compact là hình tròn trong R^2 (kể cả biên) và ax affine là ax biến (x,y)-->(ax+by +c ,a'x+b'y +c')

Mình cũng không biết là có :exists hay không nữa . Xin mời mọi người cùng làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LHTung: 12-05-2005 - 11:41

Em mang hồn vô tội
Đeo thánh giá huy hoàng
Còn ta nhiều sám hối
Mà sao vẫn hoang đàng

#13
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
Những bài dạng này có vẻ chỉ liên quan tới vấn đề đóng, mở của tập hợp vậy thì thay ánh xạ affine bằng phép đồng phôi trước sau đó thử kiểm tra với ánh xạ liên tục xem nào ! Nói riêng bài của anh QUANVU là đoạn [0, 1] có thể phân hoạch thành hai tập rời nhau mà tập một tập là ảnh của tập kia qua một ánh xạ liên tục !?.

Vấn đề tổng quát của LeHoan thấy ngay đúng với k=1, nói rộng ra, nếu x :neq A :neq B thì x phải là điểm biên của cả A và B. Bằng cách xây dựng những tập dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_1http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_2 như trên ta dẫn tới kết quả là với đều thỏa.
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#14
N.V.Minh

N.V.Minh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
Bài này về cơ bản là LHTung làm chính xác , tuy nhiên tr.h 4 là chưa chuẩn . Cả 3 tr.h đầu đều dùng nhận xét là B có min còn tr.h 4 thì dùng nhận xét A có max là xong (cái "khó" là phân thành 4 tr.h thì LHTung làm được)

Mấy nhận xét của LHTung là đúng (nhưng cũng là tự nhiên , không có gì là độc đáo ) . Bài toán tq thì quả là không dễ (tối qua tưởng là đã giải được nhưng cuối cùng sai cơ bản) , mình sẽ đưa qua bên đh . Hy vọng LHTung không có ý kiến !

Nhận định của Nemo thay ax affine = đồng phôi thì chưa rõ , còn nếu là liên tục thì đương nhiên là tồn tại rồi . Chỉ cần tách ra 1 điểm là xong . Mình cung sẽ đưa câu hỏi của Nemo sang bên toán của đh , chắc Nemo không phiền !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 13-05-2005 - 11:25

Iêu nhau trọn vẹn một tuần .
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !

#15
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
Ý em là kiểm tra với ánh xạ liên tục để tìm ra những ánh xạ f thỏa đề bài, nếu xét ánh xạ hằng thì hiển nhiên không thỏa (không biết có giống ý tách ra một điểm của anh Minh không nhỉ !?).
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#16
N.V.Minh

N.V.Minh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
Tớ không hiểu ý của Nemo lắm . Ý của tớ là nếu thay ax affine = axlt thì bất kì tập nào có nhiều hơn 1 phần tử đều thỏa mãn (không cần lồi) . GS tập đó là C thì A={x_o} , B=C\x_o , ax từ B --> A biến mọi pt của B thành x_o là axlt (ax hằng). Chỉ thế thôi , nhưng đồng phôi chắc phức tạp hơn nhiều ?

Đừng gọi tớ là anh , cứ bạn và tớ cho thoải mái (và vì cả cô bé NV nữa hihi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 13-05-2005 - 18:17

Iêu nhau trọn vẹn một tuần .
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh