Chủ đề này có 1 trả lời

[QUANVU]

Tìm tất cả các số nguyên tố http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p để http://dientuvietnam...tex.cgi?p^2-p 1 là lập phương của một số nguyên dương.

DDTH

[Mr Stoke]

Bài này thuộc vào một lớp pt mũ (quên mất tên của nó rồi Hacmigton...??? gì đó)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{p^m-1}{p-1}=n^r với p nguyên tố, m,n,r nguyên dương, r>1
Có vẻ như với bt tổng quát người ta mới chỉ quan tâm đến hai bài toán cơ bản là thứ nhất và thứ hai : Đó là tồn tại nghiệm, bao nhiêu nghiệm (đánh giá nhờ cách tiệm cận số nghiệm). Bài thứ ba: tìm tất cả nghiệm đến nay vẫn còn là OPEN PROBLEM

======================================

n=1 => loại

n=2 => p^2-p=7 nên loại

n=3 => p^2-p=26 => p=13.
Xét n>3

Giả sử rằng http://dientuvietnam...gi?p^2-p 1=n^3. Khi đó http://dientuvietnam...x.cgi?p|n^2 n 1 và http://dientuvietnam...ex.cgi?n-1|p-1. Đặt u=n-1 : p=ku+1, k nguyên dương và http://dientuvietnam...imetex.cgi?(u 1)^2+u+1+1=u^2+3u+3=vp=vku+v do đó mà v-3 chia hết cho u . Nếu v>3 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?v\le3

v=1 => u=1,2 ==> p=7 (l) , p=13 (l)
v=2 => u=1 (l)
v=3 u^2+3u+3=3ku+3 hay k=u(u+3)/3. Viết u=3x thì k=x+1 hay p=3x(x+1)+1=3x^2+3x+1. Thay vào đẳng thức http://dientuvietnam...cgi?p^2-p=n^3-1 suy ra mâu thuẫn (vp chia hết cho 9 còn vt ko)