Chủ đề này có 29 trả lời

[ngôctử]

Đây bài minh họa cho cách ôn tập đã nói đến ở một cách ôn tập tích cực: tự ra đề để ôn
Cách làm tôi cũng đã trình bày trong bài đã dẫn. Để tiện theo dõi, xin nhắc lại:

Bạn hãy giở SGK ra, thử giải bài 1 với các câu hỏi của bài 2, bài 3 .. và ngược lại. Trong khi làm caí công việc đem râu ông nọ cắm cằm bà kia như thế, hai tình huống bạn có thể gặp:
- có những câu hỏi chẵng gây trở ngại gì khi chuyễn từ bài này qua bài kia. Bạn hãy thử nghĩ vì sao? Với hàm bậc ba chẵng hạn thì bạn đã gặp bao nhiêu câu hỏi loại đó?
- Có những câu hỏi sẽ gặp trỡ ngại khi chuyễn chỗ. Hoặc tính toán sẽ quá cồng kềnh, hoặc câu hỏi sẽ không hợp lí .. Bạn thử suy nghĩ vì sao, cần phải thay đổi thế nào thì được bài toán có thể giải được dễ hơn? khó hơn ?

Nhằm giúp các bạn làm quen thêm với cách vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải đề thi, ở đây ngoài các câu hỏi lấy từ các bài tập trong SGK, tôi còn lấy thêm các câu hỏi từ một số đề thi TSĐH&CĐ đã ra, đặc biệt là từ cuốn Giới thiệu đề thi TS vào ĐH&CĐ Toàn quốc 2002 – 2004 nxb Hanoi 04 của các tác giả Trân Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường
Tất nhiên có một số bài đối với bạn này là dễ, nhưg với bạn khác là khó. Nếu thấy quá dễ, hãy bỏ qua, khỏi phí thời gian. Nếu thấy quá khó – suy nghĩ một lát không thấy hướng giải, đọc phần hướng dẫn vài lần cũng chẵng vỡ ra điều gì – hãy dũng cãm quên nó đi , tìm các bài dễ hơn làm trước đã, sau này nếu còn thời gian sẽ quay trở lại. (Không đổ được thủ khoa thì cũng chưa chết ai, đừng có quá lo). Nếu không có gì trở ngại tôi sẽ post phần Hướng dẫn giải . Cũng sẽ chỉ là các gợi ý để các bạn tham khảo thôi. Hi vọng các bạn sẽ trao đổi với nhau, tìm ra được nhiều cách giải hay, cách học hiệu quả.

[ngôctử]

KHẢO SÁT HÀM SỐ và các bài toán liên quan

Hàm bậc ba

Bài 1: Cho hàm số y = $ x^3 $ – 3x + 2 ( C ) .

1. a) Khảo sát hàm số trên. Từ đồ thị ( C ), hãy suy ra cách vẽ các đường
y = $ |x|^3 $ – 3|x| + 2 (C1) và |y| = $ x^3 $ – 3x + 2 (C2).
b) Chứng tỏ ( C ) có tâm đối xứng
c) Tìm tất cả các đường thẳng qua A(2;4) và cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C.
Tìm quĩ tích trung điểm I của BC.

2. a) Tìm m để phương trinh $ x^3 $ – 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm âm.
b) Tìm m để pt $ x^3 $ – 3x + 6 – $ 2^{-m} $ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) BL theo m số nghiệm của pt: $ x^3 $ - 3x + 2 = $ \dfrac{2(m^2 + 1)}{m} $.
d) BL theo m số nghiệm của pt: $ x^3 $ – 3x = $ m^3 $ – 3m.
e) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2 – sin3x – $ 3sin^3x $.
f) Cho đường tròn (Sm): $ x^2+y^2 $ – 2mx – 4my + $ 5m^2 $ – 1 = 0. Tìm m để hai cực trị của ( C ) nằm về hai phía của (Sm) (nằm trong/ ngoài đường tròn)
g) Phương trinh sau có bao nhiêu nghiệm thực: $ x^3 $ – 3x + 2 = $ \sqrt{9-x^2} $ ?

3. a) Viết phương trinh tiếp tuyến (pttt) của ( C )
i) tại A(–2;0)
ii) qua A(–2;0)
iii) song song với d: y = 3x + 1
b) Viết pptt ( tm ) tại M $ \in $ ( C). ( tm ) cắt ( C ) tại M và N. Tính tọa độ của N

4. a) Chtỏ (dm): y = m(x+1) + 4 luôn cắt ( C ) tại điểm P cố định. Tìm m để đường thẳng (dm) cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt P, Q, R và tiếp tuyến của ( C ) tại Q, R vuông góc với nhau.
b) Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C )
c) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) và chúng vuông góc với nhau.
d) A là điểm tuỳ ý thuộc phần đồ thị của ( C ) nằm giữa hai điểm cực trị. Chm luôn tìm được hai điểm B, C thuộc ( C ) sao cho các tiếp tuyến với ( C ) tại đó vuông góc với tiếp tuyến tại A.

5. a) Tìm trên ( C ) điểm mà tiếp tuyến với ( C ) tại đó có hệ số góc nhỏ nhất.
b) Chứng minh tồn tại những cặp điểm thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Chm đường thẳng nối hai tiếp điểm ấy đi qua một điểm cố định.
c) Ba điểm A, B, C đều thuộc ( C ) và thẳng hàng. Tiếp tuyến với ( C ) tại ba điểm ấy lần lượt cắt ( C ) tại $ A_1, B_1, C_1 $. Chm ba điểm $ A_1, B_1, C_1 $ cũng thẳng hàng.

Bài 2: Cho hàm số y = $ x^3 $ +m. $ x^2 $ – 1 (Cm)

1. a) Tìm m để hs có cực trị
b) Chm (Cm) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi m.
c) Tìm m để phương trinh $ x^3 $ + $ mx^2 $ – 1 = 0 có nghiệm duy nhât.
d) Tìm m để phương trinh $ x^3 $ + $ mx^2 $ – 1 = 0 có 3 nghiệm, trong đo có hai nghiệm âm.
e) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm lập thành cấp số cộng.
f) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $ x_1, x_2, x_3 $ thỏa $ {x_}^2+{x_2}^2+{x_3}^2 $ > 9

2. a) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (Cm).
b) Tìm m để đồ thị nhân điểm I(1;–3) làm tâmđối xứng.
c) Tìm quĩ tích của điểm uốn của (Cm).
d) Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

3. a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.
b) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = –x – 1 tại ba điểm phân biệt A(0;–1), B, C sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc nhau.

Bài 3: Cho hàm số y = $ \dfrac{1}{3}x^3+ (m-1)x^2 $ + (m – 3)x – 4.

Tìm các giá trị của m để
a) hs đồng biến trên khoảng (0;3)
b) hs nghịch biến với mọi $ x \geq 1 $
c) hs có cực trị tại $ x_1,\qquad x_2 $ thỏa $ x_1<-1<x_2 $.
d) hs có cực trị tại $ x_1,\qquad x_2 $ thỏa | $ x_1-x_2 $ | $ \geq $ 4.
e)đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = 4x + 5.
f) hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x + 12y - 564 = 0
g) hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 15-06-2009 - 18:46

[ngôctử]

Hướng dẫn
SGK = Sách giáo khoa Giải tích 12 hiện hành.
SBT = Bài tập Giải tích 12 của các tác giả Ngô Thúc Lanh, .. nxb GD 2000

1. a) cách vẽ đồ thị hs chứa dấu TTĐ: xem bài tập 2.38 SBT
b) xem 2.32 SBT.
c) PT đường thẳng qua A(2;4) có hsg k là d: y = k(x – 2) + 4.
PT hoành độ giao điểm của ( C ) với d: (x – 2)g(x) = 0 với g(x) = ($ x^2 $ + 2x + 1 – k).
ycbt $ \leftrightarrow $ phương trinh g(x) = 0 có hai nghiệm khác 2. $ \leftrightarrow $ 0 < k $ \neq $ 9.
+ Quĩ tích của I: phần đường thẳng x = –1 ứng với -23 $ \neq $ y < 4.
Nhận xét:
A là một giao điểm nên hoành độ của A là một nghiệm của pt hđgđ, gợi ý ta đưa pt về dạng tích (x – 2).g(x) = 0.
Cách giải khác: ycbt $ \leftrightarrow $ d quay từ AX đến AY (AX // Ox, AY // Oy) trừ vị trí (Ta) là tiếp tuyến với ( C ) tại A, ta lại được kết quả trên.
Về quĩ tích của I: chú ý phần giới hạn. Xem thêm: Bài 1/Bài tập tổng hợp SBT trg 48.

2.
a) 2.27 SBT
b) pthđgđ của © và đường thẳng y = $ 2^{-m}$ – 4. ĐS –3 < m < - 2
c) đặt k = $ \dfrac{2(m^2 + 1)}{m} $.
m < 0 <=> k < 0 : 1 nghiêm
m > 0 <=> $ k \geq 4 $ (Cauchy) Dấu ‘bằng’ khi m = 1.
d) đặt k = $ m^3 $ – 3m + 2. -> k = f(m). Dựa vào đồ thị ( C ): y = f(x) (thay y = k, x = m) suy ra
k < 0 <=> m < –2: pt đã cho có một nghiệm
k = 0 <=> m = -2 v m = 1: 2 nghiệm
..
e) dùng công thức nhân 3, rồi đặt t = sinx, được y = f(t) với t thuộc đoạn [-1; 1]. Từ đồ thị tìm được ngay max y = 4. min y = 0
f) A, B: 2 điểm cực trị, tâm I = (a; 2a), bán kính R = 3. ycbt $ \leftrightarrow $ (IA – R)(IB – R) < 0 <=> $ (IA^2-R^2)(IB^2-R^2)$ < 0. ĐS: 0<m<2/5
g) VP là phương trinh của nửa đường tròn. ĐS: 3 nghiệm.
3. a) 3 bài toán cơ bản về tt. i) y = 9x + 18. ii) thêm một tt y = 0 iii) 2 tt: y = 3x+2 $ \pm 4\sqrt{2} $ .
b) Tm là tiêp tuyến tại M(m; m’) tùy ý thuộc ( C ). Viết phương trinh hđgđ của Tm với ( C ), chú ý pt này tiêp xúc với ( C ) tại M nên có thể đưa về dạng tích $ {(x-m)}^2 $ (x+2m) = 0. Từ đó suy ra hoành độ của N bằng –2m.
4. a) pthđgđ: (x + 1).g(x) = 0 => điểm cố định P = (–1;4).
(dm) cắt ( C ) tại 3 điểm <=> phương trinh g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác –1 <=> -9/4 < m $ \neq 0 $. Với đk này (dm) cắt ( C ) tại P, Q, R .
Tiếp tuyến tại Q, R lần lượt có hệ số góc $ k_1 $ =f’($ x_Q $), $ k_2 $=f’($ x_R $) trong đó hoành độ của Q, R là nghiệm của phương trinh g(x) = 0 .
Hai tiếp tuyến này vuong góc <=> $ k_1\cdot k_2 $ = -1. Thế các giá trị của $ k_1 \quad k_2 $ vào, đồng thời áp dụng định lí Viet vào ta tìm được các giá trị của m thỏa ycbt.
b) Gọi M = (m;4) là điểm nằm trên đường thẳng y = 4. Viết pt đt qua M. Viết hệ đktx. Khử k, được pthđ tiếp điểm, là một pt bậc 3. Chú ý rằng A(-1;4) là một tiếp điểm nên pt bậc 3 này có thể viết dứoi dạng (x+1).g(x) = 0. ycbt <=> hệ đktx có 3 nghiệm (x,k) <=> g(x) có hai nghiệm pb khác –1. ĐS: -1 $ \neq $ m < -2/3 v m > 2.
c) = câu b + câu a. ĐS m = 28/27.
d) đk bài toán -> A có hoành độ a thỏa –1 < a < 1. Tiếp tuyến (Ta) của ( C ) tại A có hsg k = $ 3a^2 $ – 3 -> k < 0.
Tiếp tuyến tại điểm thuộc ( C ) có hsg f’(x). Tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với (Ta) <=> phương trinh f’(x).k = -1 có hai nghiệm phân biệt. (chú ý đã chm được k < 0).
5a) Tiếp tuyến tại điểm thuộc ( C ) có hsg f’(x) = ________ >= -3. Dấu bằng khi x = 0.
Nhận xét: khi a > 0, tt tại điểm uốn có hsg nhỏ nhất. Khi a < 0 thì sao ? Chm ?
b) 2 tt song song <=> k = k’ <=> x = -x’ -> hai điểm thuộc ( C ) có hoành độ x và – x thì tt tại đó song song với nhau. Dễ dàng chm được hai điểm này đối xứng nhau qua điểm uốn.
c) A, B, C thẳng hàng -> $ \vec{AB}=k\cdot \vec{AC} $. Ta cũng sẽ chứng minh $ A_1,\quad B_1 \quad C_1 $ thăng hàng bằng cách chm $ \vec{A_1B_1}=k\cdot \vec{A_1C_1} $. Gợi ý: Chuyễn các biểu thức vectơ thành các biểu thức toa độ, chú ý cách tính tọa độ các điểm $ A_1 $ … đã làm ở câu 3b.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 15-06-2009 - 18:47

[ngôctử]

Hướng dẫn

Bài 2
1
a) hàm bậc 3 có ctrị <-> phương trinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
b) f(0) = -1, mặt khác f(x) -> $ \infty $ khi x -> $ \infty $ suy ra dpcm
c) ycbt <-> (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất <-> (Cm) có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với Ox <-> $ y_CD \cdot y_ct $ > 0.
d) ycbt <-> (Cm) có hai điểm ctrị nằm hai bên Ox, y(0) < 0 và $ x_CD $ < 0.
e) 1) đk phương trinh có 3 nghiệm <-> (Cm) cắt Ox tại 3 điểm <-> hai điểm ctrị nằm hai bên Ox
2) pt có 3 ngiệm x_1; x_2; x_3 <-> $ x^3+mx^2-1 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $. Khai triển hai vế suy ra x_1 + x_2 + x_3 = -m.
3) ba nghiệm lập thành CSC <-> x_1 + x_3 = 2x_2. Từ 2) suy ra x_2 = -m/3. Thế vào pt hs, tính được m = $ \sqrt[3]{27/2} $
Nhận xét: bước 2) thực chất là chm định lí Viet cho phương trinh bậc ba. ĐL này không có trong SGK PT hiện hành nên phải chm khi sử dụng.
f) cách giải tương tự bài 9 SBT trg 52. ĐS m > 3 (Chú ý loại m < -3)

2
a) xem lại bài 9 SBT trg 52. ĐS (0; -1)
b) dời trục: x = X + 1; y = Y – 3. Xem thêm: bài 2.32, bài 7 trg 51 SBT
c) Tìm tọa độ điểm uốn, rồi khử m (tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m) DS y = $ -2x^3-1 $
d) điểm đx của M(a;b) qua gốc tọa độ là M’(-a; -b). M và M’ thuộc (Cm) nên có tọa độ thỏa mãn phương trinh hs. Thế tọa độ của chúng vào pths -> b = a^3; ma^2 = 1. Hệ có nghiệm <-> m > 0
3.
a) Viết hệ đk tx của (Cm) với Ox: y = 0, giải ra được m = $ \dfrac{3 \sqrt[3]{2}}{2} $
Có thể giải bằng cách nhân xét rằng (Cm) chỉ có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm cực trị suy ra ycbt <-> giá trị y cực trị = 0 Từ đó tính được m
b) Phương trinh hđgđ: x.(x^2 + mx + 1) = 0. (Cm) cắt d: y = - m – 1 <-> phương trinh g(x) = x^2 + mx + 1 = 0 có hai nghiệm phb <-> |m| > 2. Khi đó hoành độ cuả B, C là nghiệm x_1; x_2 của pt g(x) = 0. Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C lần lượt có hsg là k_1 = y’(x_1) và k_2 = y’(x_2). Từ k_1.k_2 = - 1 và từ hệ thức Viet -> m^2 = 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 15-06-2009 - 18:50

[Mr Stoke]

Thưa thầy,

Ở bài số 3, em có gặp loại bài sau mà em đang gặp rất nhiều rắc rối.: Viết phương trình parabol đi qua hai điểm cực trị và thỏa mãn một điều kiện cho trứớc.

Chẳng hạn: Hãy viết pt parabol đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m-3)x^2+(m-5)x-4$ và đi qua điểm A(3,5).

Em đã tính toán theo cách sau : gọi pt parabol là$y=ax^2+bx+c$rồi thay tọa độ vào để tính, nhưng không thấy ra. Thưa thầy, không biết có phải cách làm này của em là dở phải không ạ? Có cách nào khắc phục để tính toán đỡ rắc rối không?

Em cám ơn thầy trước,
Kính chào thầy,

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 15-06-2009 - 18:51

[ngôctử]

Cảm ơn Mr Stoke đã đặt câu hỏi, đề ra một bài toán hay:
Viết phương trinh parabole qua hai điểm cực trị và điểm A cho trước
Về lí thuyết thì ta có thể (i) tính tọa độ hai điểm cực trị (ii) thế tọa độ của chúng và của điểm A đã cho vào phương trinh parabole y = ax^2 + bx + c, được hệ bậc nhất gồm ba phương trinh ba ẩn (a,b,c) tham số m (iii) giải hệ, suy ra phương trinh của parabole. Nhưng trên thực tế thì ngay cả khi hoành độ của hai điểm cực trị là các nhị thức của m thì tung độ của chúng cũng khá cồng kềnh và thú thật tôi chẵng muốn thử thách tính kiên nhẫn của mình bằng cách ngồi giải hệ này chút nào. Chúng ta thử cố gắng tìm xem có cách nào khác hợp lí hơn chăng?.
Thông thường khi gặp một bài toán lạ chưa có hướng giải, ta tìm cách đặc biệt hóa nó để mong tìm ra được qui luật nào đó, gợi ý cho lời giải tổng quát. Ở đây đặc biệt hóa coi như thất bại. Ta hãy theo lời khuyên của Polya Hãy thử nghiên cứu cẩn thận bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn . Ta nghĩ đến bài toán quen thuộc và về mặt nào đó có vẽ tương tự nhưng đơn giản hơn:

Viết phương trinh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc ba y = f(x) .

Ta đã biết cách giải bài toán này:
(i) nếu tọa độ hai điểm cực trị tính được đơn giản (là các biểu thức nguyên của m - ví dụ bài 1 trong đề thi TSĐH A-2002) thì bt qui về Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có tọa độ cho trước .
(ii) nếu tọa độ của hai điểm cực trị tính toán cồng kềnh, ta lấy y chia cho y’ rồi viết lại dứơi dạng y = P(x).y’ + R(x) , trong đó P(x), R(x) là thương và dư trong phép chia. Do tại các điểm cực trị y’ = 0 nên tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x), đó chính là phương trinh đt qua hai điểm cực trị.

Trình bày cách giải như thế rõ ràng không giúp gì cho bài toán đang xét. Ta có thể trình báy cách tìm R(x) theo cách khác không ?
Từ ta có R(x) = y – P(x).y’ .
Ta nhận xét rằng ở VP y là hàm bậc ba , y’ là hàm bậc hai của x, và sở dĩ ta được R(x) là một hàm bậc nhất vì P(x) chứa những số hạng thích hợp nên các số hạng bậc ba và bậc hai ở VP bị triệt tiêu.
Thế ta có thể chọn P(x) sao cho chỉ số hạng bậc ba ở VP triệt tiêu không? Rõ ràng khi đó R(x) sẽ là một hàm bậc hai của x, tham số m. ĐK parabole y = R(x) qua điểm A cho trước sẽ giúp ta xác định m.
Hóa ra bài toán thoạt nhìn có vẽ lạ và khó khăn thật ra lại còn dễ hơn (do chọn P(x) dễ hơn) bài toán quen thuộc Viết phương trinh đường thẳng .. . Mừng quá.

Và qua gợi ý của Mr Stoke ta có thêm câu hỏi mới cho bài toán 3 ở trên :

h) Viết phương trinh parabol đi qua hai điểm cực trị và điểm A(3;2)

Thay vì qua hai điểm cực trị (= có hoành độ thỏa mãn đk y’ = 0) ta có thể buộc qua hai điểm B,C có hoành độ thỏa đk g(x) = 0 nào đó. Ta lại có thể thêm bài toán mới nữa:


i) Viết phương trinh parabol đi qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk và điểm A(3;2)
k) Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk

Dựa vào các bài toán đã có chắc ta có thể phát triễn thành nhiều, rất nhiều bài toán khác nữa. Mong các bạn dành được thời gian tìm tòi trao đổi thêm với nhau để học toán ngày càng tốt hơn.

[ngôctử]

Hướng dẫn (tiếp) Bài 3

a) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa đk . ĐS
b) với mọi x >= 1 thì y’ <= 0 <=> h(x) = . ĐS m <= 2.
Nhận xét : Thử giải lại câu a bằng phương pháp hàm số; câu b bằng pp tam thức bậc hai và so sánh hai cách giải.
c) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa x_1< -1 < x_2 <=> -1.y’(-1) < 0. ĐS: m < -2
d) ĐK để hs có ctrị: m < -1 v m > 2 . Khi đó hoành độ hai điểm ctrị là nghiệm của pt y’ = 0. Từ đl Viet và từ ĐK đề bài cho ta được hệ bậc nhất 3 pt 3 ẩn (x_1,2; m). Giải ra được . Nhớ kiểm tra ĐK để lấy giá trị m thích hợp.
e) PT đường thẳng qua hai điểm cực trị: Viết lại phương trinh hs dưới dạng y = P(x).y’ + R(x) (Lấy y chia cho y’, được thương là P, dư là R. Do tại các điểm cực trị y’ = 0 nên toạ độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x) -> phương trinh đt qua hai điểm cực trị.
Cho hsg của phương trinh đt D này bằng 4, tính được m.
f) Hai điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua d: x + 12y – 564 = 0 <=> d là trung trực của đoạn AB <=> đường thẳng qua A, B vuông góc với d và trung điểm I của AB thuộc d
- tích hsg của D (đường thẳng qua hai cực trị) và hsg của d bằng -1 => m = -4 v m = 5.
- tính tọa độ của I theo m. Kiểm tra giá trị nào của m thì điểm I thuộc d? ĐS m = 5
g) y'(3) = 0, y’’(3) > 0 -> không tồn tại giá trị nào của m thỏa ycbt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngôctử: 12-06-2005 - 00:19

[ngôctử]

Ít vào dđ nên chưa quen hết tên, tưởng đâu Mr Stoke là hs. Hóa ra … múa rìu qua mắt thợ mất rồi.
Mà này, chỗ bạn hs học tốt thế ah ?
Thú thật hs của mình phần đông học chưa tốt lắm. Các bài tập đã post trên thực ra cũng chỉ một số ít là làm hết được. Số đông còn lại tùy sức từng đứa mà mình đề nghị làm một phần nào thôi. Mình vẫn thường nói với các hs còn yếu Đừng cố học để được điểm 9, điểm 10. Hãy học để đạt điểm 6, điểm 7 trước đã. Hãy dũng cảm quên những bài tập vượt sức mình quá xa . Ban đầu chúng tưởng mình nói tếu, nhưng rồi cũng hiểu ra mình nói rất chân thành: biết lượng sức mình là trí, biết hạn chế tham vọng của mình là dũng.
Về cách tự ôn, đã hướng dẫn, làm mẫu rồi, nhưng cũng chỉ một số ít là thực hiện được. Số còn lại thì Sắp thi rồi, không có thì giờ. Thầy soạn giúp luôn cho tụi em ôn đi .
Dạy thì cũng đã dạy rồi, nhắc nhở thì cũng đã nhắc nhở rồi. Đến lúc này thì cũng đành phải xắn tay áo vào phụ với chúng vậy, xem như chiều chúng lần cuối.
Nhân tiện , post lên dđ, hi vọng có thể giúp ích được gì cho các bạn đang ôn thi chăng?
Rất mong được các bạn góp ý để rút kinh nghiệm.

chit chat tâm sự chút để xã hơi, giờ ta tiếp tục ôn KSHS và các bài toán liên quan , hỉ ?

[ngôctử]

hàm trùng phương

Bài 4: Cho hàm số y = (Cm).
a) BL theo m số cực trị của (Cm)
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành một cấp số cộng.
c) Khảo sát hàm số khi m = 3

-------------------------------------------------
Hướng dẫn:
a) qui về bài toán xét dấu đạo hàm theo m. ĐS: m <= 0: 1 ctrị, m > 0: 3 ctrị
b) 2.37 SBT (= cách giải tương tự bài 2.37 SBT) . ĐS: m = 10; m = 10/9.

[ngôctử]

hàm nhất biến (hàm 1/1)

Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = (H)

1.
a) khảo sát hàm số.
b) dựa vào đồ thị (H), vẽ các đường cong sau:
(i) y =
(ii) | y | =
(iii) y =

2.
a) Chứng tỏ (H) nhận I (là giao của hai tiệm cận) làm tâm đối xứng
b) Chứng tỏ (H) nhận đường thẳng b: y = x –1 làm trục đối xứng
c) Tìm các điểm thuộc (H) đối xứng nhau qua đường thẳng c: y = 2x + 1.
d) Gọi (H’) là hình đối xứng của (H) qua đường thẳng d: y = –1. Viết phương trinh của (H’)

3.
a) Tìm các giá trị của m để phương trinh = m có đúng hai nghiệm t thuộc đoạn [0; ]
b) Chứng tỏ đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau.
Tìm các giá trị của m để MN có độ dài nhỏ nhất
c) Tìm m để đường thẳng y = –x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm quĩ tích trung điểm J của AB.
d) Chứng tỏ diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và hai đường thẳng x = m + 2 và đường thẳng x = 2m + 2 (m > 0) là hằng số.

4.
a) Chứng tỏ không có tiếp tuyến nào của (H) đi qua giao điểm I của hai tiệm cận.
b) Chứng tỏ tồn tại những cặp điểm thuộc (H) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau đôi một
c) Tiếp tuyến của (H) tại A, B thuộc (H) song song với nhau. Chứng tỏ đường thẳng AB qua điểm cố định
d) BL theo a số tiếp tuyến của (H) đi qua điểm A(1;a)
e) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (H)

5.
a) Viết pt tiếp tuyến tại M tùy ý thuộc (H) . Tiếp tuyến này cắt hai tiệm cận tại A, B. Tính tọa độ A; B
b) Chm M là trung điểm của AB.
c) Chm diện tích tam giác ABI không phụ thuộc vào vị trí của M
d) Chm tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận không đổi

6.
Tìm M thuộc (H) để
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị nhỏ nhất.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ có giá trị nhỏ nhất.
c) khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng nhau
d) khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lần khoảng cách từ M đến Oy.
e) khoảng cách từ M đến (D) : y + 2x – 5 = 0 nhỏ nhất
f) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (H) để MN có độ dài nhỏ nhất
g) Tìm M để chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngôctử: 05-06-2005 - 23:16

[SEIYA]

Em xin chào thầy, thầy có thể hướng dẫn cho chúng em về kỹ năng

[pvl_ph17187]

Xin hoi các thâỳ giúp em xử lý bài này với:
Tìm tât' cả các điểm M thuộc tọa độ Oxy sao cho từ đó có thể kẻ đến đồ thị © của hàm số: y= x + 1/x một số hữu hạn tiếp tuyến.....

[BINH]

thày giúp em bài nay htày nha
Hãy biện luận số tiếptuyến từ điểm M thuộc Oy đến đồ thị © của hàm số
bac 4
cam on thay
Q.E.D.

[Mr Stoke]

Chết thật, box chuyên đề có nhiều thay đổi nên hôm nay mới nhìn thấy bài viết này. Cám ơn bạn về bài viết trả lời.

Ít vào dđ nên chưa quen hết tên, tưởng đâu Mr Stoke là hs. Hóa ra … múa rìu qua mắt thợ mất rồi.

hi bạn lại khiêm tốn rồi, mình đã đọc một số bài viết của bạn, qua đó mình có cảm nhận bạn rất tâm huyết với nghề và rất sắc sảo trong dạy học. Chắc chắn các bài viết đó rất bổ ích và mình sẽ còn phải học hỏi nhiều ở bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Stoke: 11-06-2005 - 10:23

[ngôctử]

Hướng dẫn bài 5

1.
b) i & ii: 2.38 SBT
(iii) TXĐ x (tập đối xứng), f(x) = f(-x) -> hàm chẵn -> Cách vẽ H_3:
giữ lại phần đồ thị (H) ứng với x >= 0 (phần đồ thị nằm bên phải trục tung), sau đó lấy thêm hình đối xứng của nó qua trục tung.

2.
a) xem 2.40, 5.26 ; bài 7/trg 51 SBT
b) Xét đường thẳng D bất kì vuông góc với b và cắt (H) tại A, B. Ta phải chm A, B đx nhau qua b
- viết pt của D: y = -x + m
- viết pt hđgđ của D và (H): g(x) = 0
- tính tọa độ trung điểm J của AB. (áp dụng dl Viet với pt )
- chứng tỏ J nằm trên b
Nhận xét: tương tự ta cũng chm được (H) nhận đường thẳng y = -x + 3 làm trục đx.
c) Gọi A; B là hai điểm thuộc (H) và đx nhau qua c
- viết pt đường thẳng D qua A, B. (chú ý: D vuông góc với c)
- viết pt hđ gđ của D và (H): g(x) = 0 . Từ đó tính được tọa độ trung điểm J của AB
- J cũng thuộc ( c ) nên thế tọa độ của nó vào pt của c, tính được m. Chú ý kiểm tra đk có nghiệm của pt
- Thế m vào pt tính được hoành độ của A, B
d) Gọi M’(x’;y’) là điểm đối xứng của điểm M(x;y) tùy ý thuộc (H) qua d.
Ta có hệ ba phương trinh : y = f(x); x = x’ và (y + y’)/2 = -1. Từ đó ta tính được y’ theo x’.
Suy ra (H’): y = (-3x + 3)/(x – 2)

3.
a) đặt x = sint, thì ứng với mỗi giá trị của x thuộc [0;1) ta được 2 giá trị t thuộc [0; pi]. Suy ra ycbt <=> đường thẳng y = m cắt phần của (H) ứng với 0 x < 1 tại đúng một điểm.
ĐS: -2 < m < = 1/2.
b) Chứng tỏ pthđgđ của (H) và d: g(x) = 0 có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa.đk .
Cách tìm min MN: xem 2.39 SBT.
ĐS: min MN = (đvđd) đạt được khi m = -3
c)
(i) tìm đk để pthđgđ có hai ngiệm pb
(ii) - từ pthđgđ tính được tọa độ của J (theo m).
- Khử m, tìm được hệ thức giữa tung và hoành độ của J độc lâp với m.
- Từ đk có nghiệm ở (i) ta có giới hạn của quĩ tích.
Xem thêm: 2.41, bài 4/trg 50 SBT.
ĐS: quĩ tích của J là phần đường thẳng y = x + 1 ứng với x < 1 - v x > 1 +
d) ĐS: ln2

4.
a) - viết pt đường thẳng qua I
- viết hệ điều kiện tiếp xúc.
- chứng tỏ hệ vô nghiệm.
Xem thêm: bài 2.38 SBT
b) bài 5.26 SBT. Xem thêm bài 1.5b ở trên.
c) – xét A(a; a’) và B(b;b’). Tiếp tuyến của (H) tại hai điểm ấy song song
<=> y’(a) = y’(b) <=> a + b = 4
- => a’ + b’ = 2
- suy ra tọa độ trung điểm của AB là I = (2;1) : là giao của hai tiệm cận
Nhận xét: cách hỏi khác của câu b.
d)
- viết pt đường thẳng qua A(1;a) có hsg k (T): y = k(x – 1) + a
- viết hệ đk tiếp xúc của T và (H).
- hệ có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp tuyến
ĐS: a = 1 v a = -2: có một tiếp tuyến , a < - 2: không có tiếp tuyến , a > - 2 và a khác 1: có hai tiếp tuyến
e) - viết pt đường thẳng qua M(0;m) có hsg k
- viết hệ đktx
- tìm đk để hệ có một nghiệm duy nhất
ĐS: (0;1) và (0; -1/2). Xem thêm: bài 5/trg 50 SBT

5.
a-b) 2.39 SBT
c) 2S = IA.IB = | |.|| ĐS: 6 đvdt
d) – k/c từ M đến TCĐ x – 2 = 0: MH = |m – 2|
- tính tiếp k/c MK từ M đến TCN: y – 1 = 0
- ĐS: MH.MK = 3.

6. Xét điểm M thuộc (H) có tọa độ M = (m; 1 + )
a) MH + MK > = 2. (Cauchy) . Ở đây MH = |m-2|, MK = |3/(m-2)|
b) Tìm min của d = |m| + |1+3/(m-2)|.
Xét hàm d = h(m): xét dấu các biểu thức để bỏ dấu GTTĐ, tính h’(m) rồi lập BBT suy ra min h(m) = 1/2 đạt được khi m = 0 => M= (0; -1/2).
Có thể giải gọn hơn nếu nhận xét rằng khi m = 0 thì d = 1/2 nên để tìm min d ta chỉ cần xét với |m| < = 1/2 và |1+3/(m-2)| < = 1/2 <=> -1/2 < = x < = 0.
- Khi đó d = h(m) = -m – 1 – 3/(m – 2). Lập BBT của h(m) trên đoạn [-1/2; 0] => min h(m).
ĐS min d = h(0) = 1/2 .
c) Giải pt: MH = MK để tìm m (xem lại câu 5d ở trên)
d) Giải pt | 1+3/(m-2)| = 2|m|
e) Tính d(M; D); rồi dùng bđt Cauchy hoặc dùng phương pháp hàm số (dài hơn) để suy ra min. ĐS 2.
f) Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc nhánh bên phải, bên trái TCĐ -> M= (2 + m; 1 + 3/m) và N = (2 – n; 1 – 3/n) với m > 0; n > 0.
- Tính MN theo m;n,
- dùng bđt Cauchy suy ra min MN = 2.
g) - Chu vi P = IA+IB+AB = IA + IB + .
- Dùng Cauchy suy ra ĐS:

[ngôctử]

hàm phân thức 2/1

bài 6: Cho hàm số y = f(x) = (H)
1.
a) Khảo sát hàm số trên
b) Tìm trên (H) các điểm có tọa độ là các số nguyên
c) GBL theo m số nghiệm của phương trinh = 0.

2.
a) Tìm m để phương trinh + (m – 1)sint + m – 3 = 0 có đúng 4 nghiệm thuộc khoãng ()
b) Tìm m 2 để nghiệm lớn của phương trinh + (1 – m)x + 1 – m = 0 có giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (H) tại hai điểm A, B mà AB = 1.
d) Tìm max, min của A = .

3.
a) Tìm k để ít nhất một tiếp tuyến của (H) song song với d: y = kx + 1. Suy ra điều kiện của k để mọi tiếp tuyến của (H) đều cắt đường thẳng d.
b) Tìm M thuộc (H) để tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng MI, I là Tâm đối xứng của (H).
c) Tìm trên trục Oy các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến (H) và chúng vuông góc với nhau.
d) Tìm trên trục Ox các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (H)

[ngôctử]

Hướng dẫn (bài 6)
1.
b) xem 2.38, 2.41, 5.27 SBT. ĐS: (-3;-8), (-2;-7), (0;1), (1;2).
c) Với m < = 0, biểu thức không xác định.
Với m > 0, đặt t = - , bt qui về xét sự tương giao của (H) và đường thẳng y = t.
ĐS: - > 1 v - < - 7 <=> 0 < m < v m > : pt có 2 nghiệm phân biệt.
( … )

2.
a) đặt x = sint, pt <=> –(m-1)x + 1 – m = 0 .
<=> = m (**) (Do x = -1 không phải là nghiệm của )
Nếu pt (**) có một nghiệm x thuộc (-1;1) thì pt có hai nghiệm t thuộc khoảng ()
Nếu pt có nghiệm x = 1 thì pt có một nghiệm t thuộc khoảng ()
Do đó ycbt <=> pt có 2 nghiệm x thỏa đk –1 < < 1.
Bài toán qui về tìm m để đường thẳng y = m cắt phần đường cong (H) ứng với x thuộc (-1;1) tại hai điểm.
ĐS: 1 < m < 2.
Nhận xét: thử dùng phương pháp tam thức bậc hai để giải. Xem thêm: 2.42 SBT
b) xét sự tương giao của (H) với đường thẳng y = m với m >= 2. ĐS: m = 2
c) - Điều kiện cắt nhau: m < -7 v m > 1
- Phương trinh hoành độ giao điểm : g(x) = 2x^2 + (1 – m)x + 1 – m = 0
Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm x_1, x_2 của nên theo dl Viet ta có và .
Mặt khác giả thiết AB = 1 <=> | | = 1.
Giải hệ này, so với đk cắt nhau ta được giá trị m cần tìm
d) đặt x = |cost| bt qui về tìm GTLN của y = f(x) với x thuộc đoạn [0;1]. ĐS: min A = 1, max A = 2

3.
a) ycbt <=> phương trinh y’ = k có nghiệm.
y’ = k <=> 2 – = k <=> 2 – k = có nghiệm <=> k < 2
Nhận xét: Chú ý kỹ thuật viết y’ = 2 – . Nếu viết:
Y’ = k <=> = k
<=> (k-2)x^2 + 2(k – 2)x + k = 0
rồi tìm điều kiện để pt này có ghiệm bài giải sẽ dài.
b) M = (m; 2m-1 + ) ->
- đường thẳng MI có hsg k = = 2 +
- tiếp tuyến tại M có hsg là y’(m) = 2 -
- giải phương trinh y’(m).k = -1 cho ta giá trị m cần tìm.
c) M thuộc Oy -> M=(0;m) -> đường thẳng qua M có pt: y = kx + m (T)
- Viết hệ đk tiếp xúc của (T) và (H). Suy ra: –2(m-1)k + + 6m – 7 = 0.
- ycbt <=> pt có hai nghiệm k_1; k_2 thỏa đk: = -1. Giải ra được m
d) N thuộc Ox -> N = (0;n). Tương tự câu c ta viết pt đường thẳng (T) qua N, viết hệ đktx của (T) và (H), suy ra phương trinh –2(3n-1)k – 7 = 0 (**)
ycbt <=> pt(**) có đúng 1 nghiệm k khác 2 <=> n = -1; n = 1/2.
ĐS: (-1;0) và (1/2;0) ( có nhận xét gì về vị trí hai điểm này?).

[ngôctử]

Cảm ơn các bạn đã đặt câu hỏi:

@ SEIYA:

thầy có thể hướng dẫn cho chúng em về kỹ năng 

Phần lớn các bài toán ở đây là các bài toán khá cơ bản, lấy từ SGK để các bạn ôn thi nên thường cũng chẵng sữ dụng kỹ thuật gì đặc biệt hơn những gì bạn đã được học ở lớp. Với một số bài có kỹ thuật (mánh lới) gì để tính nhanh gọn mà tôi biết và tôi cho là có ích cho số đông thì tôi cũng có nêu ra ở phần Hướng dẫn .
Chúc bạn ôn luyện tốt và thành công trong kì thi tới. Nếu trong qúa trình học bạn tìm được kỹ thuật gì hay cho một bài toán cụ thể nào đó thì hãy đưa lên dđ chia sẻ với mọi người nhé.

@ BINH

Hãy biện luận số tiếp tuyến từ điểm M thuộc Oy đến đồ thị ( C ) của hàm số bac 4

@ pvl ph17187

Tìm tât' cả các điểm M thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho từ đó có thể kẻ đến đồ thị ( C ) của hàm số: y = x + 1/x một số hữu hạn tiếp tuyến

Bài toán các bạn hỏi là một trong ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến:
Viết phương trinh tiếp tuyến của ( C ): y = f(x) đi qua điểm M
Nói chung để giải bt này:
i) viết phương trinh đường thẳng qua M có hsg k
ii) viết hệ đk tiếp xúc
iii) giải hệ : hệ có n nghiệm => có n tiêp tuyến
Nếu phương trinh hàm số hoặc tọa độ của M chứa tham số thì bài toán qui về biện luận số nghiệm của hệ theo tham số.

Với bài toán của bạn BINH : do M thuộc Oy nên M = (0;m) => hệ chỉ phụ thuộc một tham số m. Các bài 1.4.b-c trên đây là tương tự, nghiên cứu kỉ chúng có thể có những gợi ý tốt cho bài toán của bạn. Nhân tiện xin đưa ra đây một bài toán cụ thể để bạn thực tập:
Tìm trên Oy các điểm M kẻ được ba tiếp tuyến đến ( C ): y = f(x) =
(Đề 72.I Bộ đề TSĐH&CĐ)

Với bài toán của bạn pvl ph17187 : M tùy ý thuộc mp Oxy nên M = (a; b).
Từ hệ ta có phương trinh hoành độ tiếp điểm (nếu có):
(a – b) + 2x – a = 0 (**) (x khác 0)
Ứng với mỗi nghiệm x (khác 0) của pt (**) ta được một nghiệm (x; k) của hệ tức cũng là xác định được một tiếp tuyến kẻ từ M của ( C ). Do vậy bài toán qui về biện luận số nghiệm của phương trinh (**). Cụ thể ta có:
i) Từ M kẻ được 0 tiếp tuyến đến ( C ) <=> pt (**) vô nghiệm.
- nếu a = b = 0: <=> x = 0 (loại) nên VN
- nếu a khác b: là pt bậc 2, vô nghiệm khi ' < 0
<=> a^2 – ba + 1 < 0
<=> b > a + 1/a nếu a > 0 hoặc b < a + 1/a nếu a < 0 (***)
Vậy trên mp tọa độ, tập hợp các điểm M không kẻ được tiếp tuyến đến ( C ) là
- điểm (0;0) (giao của hai tiệm cận)
- các điểm có tọa độ (a; b) thỏa đk (***) (các điểm nằm trong phần lõm của hyperbol ).
Tương tự với các bt từ M kẻ được 1; 2 tiếp tuyến đến ( C ) …Xin dành cho các bạn thực tập. Nếu có khó khăn các bạn nên xem lại các bài tập 5.4, 6.3

P/S: Rất các ơn các bạn đã đặt câu hỏi cho tôi. Tiếc rằng vì nhiều lí do riêng nên thường một tuần, 10 ngày tôi mới có thể vào dđ một lần. Vì vậy mong các bạn thảo luận vơi nhau, giúp nhau cùng ôn thi. Có khó khăn gì, các thầy cô, anh chị khác trên dđ hẳn sẽ kịp thời giúp đở.
Chúc các bạn ôn tập có hiệu quả và thành công trong kì thi tới.

[ngôctử]

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = (Hm)

1.
a) Tìm m để hs đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
b) Tìm m để hs đồng biến với mọi x > 2

c) Tìm m để đồ thị hàm sô cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương

2.
a) Tìm m để hs có cực trị
b) Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm cực trị
c) Tìm m để hs có | | = 4
d) Tìm m để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

3.
a) (Hm) cắt Ox tại A(a;0). Chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = .
b) Tìm m để (Hm) cắt Ox tại hai điểm mà tiếp tuyến kẻ từ đó đến đồ thị vuông góc với nhau
c) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 0 vuông góc với i) TCĐ ii) TCX
d) Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ I của hệ trục tọa độ. Chứng tỏ khi đó hàm số có cực trị.
e) Tìm m để tiếp tuyến tại M tùy ý của (Hm) tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích < 2

[COLOR=blue]

[hoathiênthanh]

thưa thầy ,về phần viết phương trình parabol qua 2 điểm cực trị hàm bậc 3 ,thỏa dk cho trước,em cũng chưa hiểu lắm ,trong vài đề thi ,em thấy có cách giải :
phương trình đường parabol có dạng :
y=a(x-x1)(x-x2)+bx+c
với x1 ,x2 là hoành độ 2 điểm cực trị
thế tọa độ 2 điểm cực trị vào ta sẽ được hệ pt 2 ẩn b,c ,tìm được b,c
từ điều kiện ta tìm được a
nhưng trong sgk em chưa được học pt qua hai điểm có dạng
y=a(x-x1)(x-x2)+bx+c em đang băn khoăn lắm ,không biết có được sử dụng hông.
mong thầy giải đáp giúp em ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoathiênthanh: 15-06-2005 - 13:46